1 博弈论简介 2 博弈论基础知识 3 4 (一)巴什博奕(Bash Game): 5 6 只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个.最后取光者得胜. 7 8 若(m+1) | n，则先手必败，否则先手必胜。 9 10 显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜.因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜.总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜. 11 12 13 14 (二)威佐夫博奕(Wythoff Game): 15 16 有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜. 17 18 奇异局势下先手必败，非奇异局势下先手必胜。 19 20 这种情况下是颇为复杂的.我们用(ak,bk)(ak ≤bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势.前几个奇异局势是：(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20). 21 22 可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质： 23 24 1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中. 25 26 由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立. 27 28 2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势. 29 30 事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势.如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势. 31 32 3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势. 33 34 假设面对的局势是(a,b),若b = a,则同时从两堆中取走a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)；如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势；如果a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak)；如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走b - bj 即可；第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走b - aj 即可. 35 36 从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜；反之,则后拿者取胜. 37 38 那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式： 39 40 ak =[k(1+√5)/2](下取整), bk= ak + k (k∈N) 41 42 奇妙的是其中出现了有关黄金分割数的式子：(1+√5)/2 =1.618...,若两堆物品个数分别为x,y(x<y)，则k=y-x，再判断x是否等于[(y-x)*( √5+1)/2] 即可得知是否是奇异局势。 43 44 参考例题：POJ1067取石子游戏 45 46 参考代码： 47 48 var 49 a,b:longint; 50 begin 51 repeat 52 readln(a,b); 53 if a>b then 54 begin a:=a xor b; b:=a xor b; a:=a xor b; end; 55 if a=trunc((b-a)*(sqrt(5)+1)/2) then writeln(0) else writeln(1); 56 until seekeof; 57 end. 58 59 60 61 (三)尼姆博奕(Nimm Game): 62 63 有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜. 64 65 这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败.第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0).仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形. 66 67 计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号xor表示这种运算.这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0.先看(1,2,3)的按位模2加的结果： 68 69 1 =二进制01 70 71 Xor 2 =二进制10 72 73 Xor 3 =二进制11 74 75 ——————— 76 77 0 =二进制00 78 79 对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0. 80 81 任何奇异局势(a,b,c)都有a xor b xor c =0。该结论可以推广至若干堆，都是成立的。 82 83 如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢？假设a < b< c,我们只要将c 变为a xor b,即可,因为有如下的运算结果: a xor b xor (a xor b)=(a xor a) xor (b xor b)=0 xor 0=0.要将c 变为a xor b,只要从c中减去c-(a xor b)即可. 84 85 86 87 (四)Nim Staircase博奕: 88 89 这个问题是尼姆博弈的拓展：游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上（0号）的人获胜。 90 91 算法：将奇数楼层的状态异或，和为0则先手必败，否则先手必胜。证明略。 92 93 例题：Poj1704 94 这道题可以把两个棋子中间间隔的空格子个数作为一堆石子，则原题转化为每次可以把左边的一堆石子移到相邻的右边的一堆中。也就是阶梯尼姆博弈，注意对输入数据先排序，然后倒着往前数（a[n]-a[n-1]-1为第一个），奇数个数到的就做一下xor，其中最前面的看做a[1]-0-1，参考程序： 95 var 96 t,n,b,i,j:longint; 97 a:array[0..1000]of longint; 98 begin 99 readln(t); 100 repeat 101 dec(t); 102 readln(n); 103 for i:=1 to n do read(a[i]); 104 qsort(1,n);//快排略 105 j:=0; 106 b:=0; 107 for i:=n downto 1 do 108 begin 109 inc(j); 110 if odd(j) then b:=b xor (a[i]-a[i-1]-1); 111 end; 112 if b=0 then writeln('Bob will win') else writeln('Georgia will win'); 113 until t=0; 114 end.
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